חורף 2024 (שאלון 472) – שאלה 1סדרות 571 · שיעור 33

חורף 2024, שאלה 1

שיעור 33: חורף 2024 (שאלון 472) – שאלה 1

פרק 7 – שאלות בגרות 472 – סדרות (תרגול ברמת 4 יחידות)

1נוסח השאלה

2סעיף א – ההפרש הקבוע

3סעיף ב – החודש הראשון

4סעיף ג – מספר חודשי המכירה

5סעיף ד – כמה מחשבים לא נמכרו

📄 נוסח השאלה

במפעל אלקטרוניקה החלו לייצר מחשבים. בכל שבוע כמות המחשבים שייצרו הייתה גדולה במספר קבוע מכמות המחשבים שייצרו בשבוע שלפניו. בשבוע הראשון ייצרו 900 מחשבים. הייצור נמשך 50 שבועות. בתקופה זו ייצרו 167,500 מחשבים סך הכול.

א. בכמה הייתה גדולה כמות המחשבים שייצרו בכל שבוע מן הכמות שייצרו בשבוע שלפניו?

📄 נוסח השאלה · המשך

בגמר הייצור מכר המפעל את המחשבים במשך כמה חודשים. כמות המחשבים שנמכרו בכל חודש הייתה גדולה פי q מכמות המחשבים שנמכרו בחודש שלפניו. בחודש ה־4 נמכרו 160 מחשבים. בחודש ה־7 נמכרו 1,280 מחשבים.

ב. כמה מחשבים נמכרו בחודש הראשון?

החודש ה־7 היה החודש האמצעי של חודשי המכירה.

ג. כמה חודשים נמשכה המכירה?

ד. כמה מן המחשבים שייצרו במפעל לא נמכרו?

סעיף א – ההפרש הקבוע

כמות המחשבים גדלה כל שבוע במספר קבוע – זו סדרה חשבונית: a₁ = 900, n = 50, S₅₀ = 167500. מחפשים את ההפרש d.

S₅₀ = 502 · [2 · 900 + (50 − 1)d]

📐 סכום סדרה חשבונית

167500 = 25 · (1800 + 49d)

מחלקים את שני האגפים ב־25:

6700 = 1800 + 49d

49d = 6700 − 1800 = 4900

📐 סכום סדרה חשבונית

S_n = n2 · [2a₁ + (n − 1)d]

סעיף א – ההפרש הקבוע · המשך

49d = 6700 − 1800 = 4900

d = 490049 = 100

✅ פתרון סופי: בכל שבוע ייצרו 100 מחשבים יותר מבשבוע שלפניו

סעיף ב – החודש הראשון

כמות המכירות גדלה פי q כל חודש – זו סדרה הנדסית. נכתוב את שני האיברים הנתונים:

a₄ = a₁ · q³ = 160

📐 איבר כללי בסדרה הנדסית

a₇ = a₁ · q⁶ = 1280

📐 איבר כללי בסדרה הנדסית

מחלקים את המשוואה השנייה בראשונה:

a₁ · q⁶a₁ · q³ = 1280160

📐 חילוק חזקות

q³ = 8

📐 איבר כללי בסדרה הנדסית

a_n = a₁ · q^{n − 1}

📐 איבר כללי בסדרה הנדסית

a_n = a₁ · q^{n − 1}

📐 חילוק חזקות

q⁶q³ = q^{6 − 3} = q³

סעיף ב – החודש הראשון · המשך

q³ = 8

q = ³√8 = 2

מציבים במשוואה הראשונה:

a₁ · 2³ = 160

a₁ · 8 = 160

a₁ = 1608 = 20

סעיף ב – החודש הראשון · המשך

a₁ = 1608 = 20

✅ פתרון סופי: בחודש הראשון נמכרו 20 מחשבים

סעיף ג – מספר חודשי המכירה

החודש ה־7 הוא האמצעי – יש לפניו ולאחריו אותו מספר חודשים. לפניו יש 6 חודשים (1 עד 6), ולכן גם אחריו 6 חודשים (8 עד 13).

n = 6 + 1 + 6 = 13

בדיקה: בסדרה עם מספר אי־זוגי של איברים, האיבר האמצעי נמצא במקום n + 12:

n + 12 = 7 ⟸ n + 1 = 14 ⟸ n = 13

📐 האיבר האמצעי

✅ פתרון סופי: המכירה נמשכה 13 חודשים

📐 האיבר האמצעי

מקום האמצעי = n + 12

סעיף ד – כמה מחשבים לא נמכרו

סך המחשבים שנמכרו הוא סכום 13 האיברים של הסדרה ההנדסית (a₁ = 20, q = 2):

S₁₃ = 20 · (2¹³ − 1)2 − 1

📐 סכום סדרה הנדסית

2¹³ = 8192

S₁₃ = 20 · 8191 = 163820

המחשבים שלא נמכרו = מה שייצרו פחות מה שנמכר:

167500 − 163820 = 3680

📐 סכום סדרה הנדסית

S_n = a₁(qⁿ − 1)q − 1

סעיף ד – כמה מחשבים לא נמכרו · המשך

167500 − 163820 = 3680

✅ פתרון סופי: 3,680 מחשבים לא נמכרו

📌 סיכום התשובות

סעיף א

100

סעיף ב

סעיף ג

13 חודשים

סעיף ד

3,680

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא